等比数列是指一个数列中,从第2项开始,每一项都是前一项与同一常比q的乘积。
首项为a,公比为q的n项等比数列的和是:
Sn = a1 * (1 - qn) / (1 - q)
其中,Sn为等比数列的前n项的和。
公式推导
根据等比数列的性质,有:
a2 = a1 * q, a3 = a2 * q = a1 * q2, ..., an = a1 * qn-1
将等比数列的前n项公式展开可得:
Sn = a1 a1 * q a1 * q2 ... a1 * qn-1
将等比数列的首项a1提取公因子,得:
Sn = a1 * (1 q q2 ... qn-1)
等比数列的前n项和Sn乘以公比q得到:
q * Sn = a1 * (q q2 ... qn)
上述两式相减,得到:
Sn - q * Sn = a1 - a1 * qn
化简得到等比数列的前n项和公式:
Sn = a1 * (1 - qn) / (1 - q)